Hasil dari [tex]\displaystyle{\int\limits^{-1}_{-\infty} {xe^{-x^2}} \, dx }[/tex] adalah [tex]\displaystyle{\boldsymbol{-\frac{1}{2e}} }[/tex].
PEMBAHASAN
Integral tak wajar/improper integral merupakan bentuk integral tentu dimana batas pengintegralannya berupa :
1. Batas tak hingga.
2. Salah satu batas integral menyebabkan fungsi tidak kontinu.
Penyelesaian dari integral tak wajar adalah dengan mencari nilai limitnya di titik tak hingga atau di titik yang menyebabkan fungsi tidak kontinu.
[tex]\displaystyle{(i).~\int\limits^b_{-\infty} {f(x)} \, dx= \lim_{a \to -\infty} \left [ \int\limits^b_a {f(x)} \, dx \right ] }[/tex]
[tex]\displaystyle{(i).~\int\limits^{\infty}_a {f(x)} \, dx= \lim_{b \to \infty} \left [ \int\limits^b_a {f(x)} \, dx \right ] }[/tex]
Hasil dari integral tak wajar dapat bersifat konvergen maupun divergen.
.
DIKETAHUI
[tex]\displaystyle{\int\limits^{-1}_{-\infty} {xe^{-x^2}} \, dx= }[/tex]
.
DITANYA
Tentukan hasilnya.
.
PENYELESAIAN
[tex]\displaystyle{\int\limits^{-1}_{-\infty} {xe^{-x^2}} \, dx }[/tex]
[tex]\displaystyle{= \lim_{a \to -\infty} \left [ \int\limits^{-1}_a {xe^{-x^2}} \, dx \right ] }[/tex]
[tex]---------------[/tex]
Misal :
[tex]u=x^2~\to~du=2xdx[/tex]
[tex]---------------[/tex]
[tex]\displaystyle{= \lim_{a \to -\infty} \left [ \int\limits^{-1}_a {xe^{-u}} \, \frac{du}{2x} \right ] }[/tex]
[tex]\displaystyle{=\frac{1}{2}\lim_{a \to -\infty} \left [ \int\limits^{-1}_a {e^{-u}} \, du \right ] }[/tex]
[tex]\displaystyle{=\frac{1}{2}\lim_{a \to -\infty} \left [ -e^{-u} \right ]\Bigr|^{-1}_a }[/tex]
[tex]\displaystyle{=-\frac{1}{2}\lim_{a \to -\infty} \left [ \frac{1}{e^u} \right ]\Bigr|^{-1}_a }[/tex]
[tex]\displaystyle{=-\frac{1}{2}\lim_{a \to -\infty} \left [ \frac{1}{e^{x^2}} \right ]\Bigr|^{-1}_a }[/tex]
[tex]\displaystyle{=-\frac{1}{2}\lim_{a \to -\infty} \left [ \frac{1}{e^{(-1)^2}}-\frac{1}{e^{(a)^2}} \right ] }[/tex]
[tex]\displaystyle{=-\frac{1}{2}\lim_{a \to -\infty} \left [ \frac{1}{e}-\frac{1}{e^{a^2}} \right ] }[/tex]
[tex]\displaystyle{=-\frac{1}{2}\left [ \frac{1}{e}-\frac{1}{\infty} \right ] }[/tex]
[tex]\displaystyle{=-\frac{1}{2}\left [ \frac{1}{e}-0 \right ] }[/tex]
[tex]\displaystyle{=-\frac{1}{2e} }[/tex]
.
KESIMPULAN
Hasil dari [tex]\displaystyle{\int\limits^{-1}_{-\infty} {xe^{-x^2}} \, dx }[/tex] adalah [tex]\displaystyle{\boldsymbol{-\frac{1}{2e}} }[/tex].
.
PELAJARI LEBIH LANJUT
- Integral tak wajar : https://brainly.co.id/tugas/42201243
- Integral tak wajar : https://brainly.co.id/tugas/41947628
- Integral fungsi gamma : https://brainly.co.id/tugas/33625365
.
DETAIL JAWABAN
Kelas : x
Mapel: Matematika
Bab : Integral
Kode Kategorisasi: x.x.x
[answer.2.content]
